河北省三河市汇福实验学校  初中部  田文霖

　　多年的学习，一直对数学情有独钟。上初中后，我接触了“勾股定理”——对于任何一个直角三角形来说，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即“勾的平方+股的平方=弦的平方”，并且教材上给出了第一组勾股数“3^2+4^2=5^2”，还有第二组勾股数“5^2+12^2=13^2”。当时我就觉得有趣，便想：还有哪些勾股数呢？已知一个数，怎么求其他两个数呢？我能快速地找到它们吗？

　　接下来的一段时间，我对“勾股数”进行了思考，竟然真的被我找到了方法，首先我发现，“3^2+4^2=5^2”，“5^2+12^2=13^2”，这两组“勾股数”的第一个数都是奇数，先求出这个数的平方，然后除以2，与所得数相邻的两个整数，正好和刚才的数组成了一组“勾股数”。

　　用这个方法，我们可以很快地找到其它的“勾股数”，如7、24、25是一组勾股数；9、40、41是一组勾股数……

　　不仅如此，我还找到了它的证明方法：

　　类型Ⅰ：当勾股数中最短边a为奇整数（a>1）时，a^2/2=b，那么与b相邻的两个整数，与a互为勾股数。

　　例：已知最短边为13，求与最短边互为勾股数的另两边数值。

　　解：勾股数中最短边13是奇整数，可用公式a^2/2=b求解

　　13^2/2=84.5

　　∵84.5相邻的两个整数是：84和85（84<84.5<85）

　　∴与最短边13互为勾股数的另两边数值为84、85。（13^2+84^2=85^2）

　　我又想到：“如果这个数是偶数呢？”

　　经过思考，我觉得我找到了方法：如果“勾股数”的第一个数都是偶数，先把这个数除以2，所得数再进行平方，然后，与平方后所得数相邻的两个整数，正好和前面的数组成了一组“勾股数”

　　用这样的方法，我们同样可以很快地找到其它的勾股数，如6、8、10是一组勾股数；10、24、26是一组勾股数……

　　证明方法如下：

　　类型Ⅱ：当勾股数中最短边a为偶整数（a>4）时，(a/2)^2=b，那么与b相邻的两个整数，与a互为勾股数。

　　例：已知最短边为10，求与最短边互为勾股数的另两边数值。

　　解：勾股数中最短边10是偶整数，可用公式(a/2)^2=b求解

　　(10/2)^2=25

　　∵25相邻的两个整数是：24和26（24<25<26）

　　∴与最短边10互为勾股数的另两边数值为24、26。（10^2+24^2=26^2）

　　我向侯老师汇报了我的成果。经过侯老师的演算，发现这个推论是符合勾股定理的。

　　后来我发现，我所研究过的勾股数，历史上，毕达哥拉斯和柏拉图两位大数学家早就研究过了。

　　毕达哥拉斯的表达式为：a=2n+1，b=2n²+2n，n为正整数c=2n²+2n+1

　　柏拉图的表达式为：a=2n，b=n²−1，（n为大于1的正整数）c=n²+1

　　很明显可以发现，毕达哥拉斯的表达式中a为奇数，柏拉图的表达式中a为偶数，因此可通过所给a的奇偶性决定用哪组表达式来计算另外两个数字。比如，7为奇数，应该采用毕达哥拉斯的表达式，由7=2n+1，可以求出n=3，很快可以求出b、c分别是24和25；而8为偶数，应该采用柏拉图的表达式，由8=2n，可以求出n=4，很快可以求出b、c分别是15和17。

　　我度过了一段非常美妙的数学探索时光。如今快要中考了，这段时光已成为我初中学习中最深的记忆之一。

（指导教师：甲骨文教育 侯晓华）